KLIWA-Heft 16:
Langzeitverhalten von Grundwasserständen, Quellschüttungen und grundwasserbürtigen Abflüssen in Baden-Württemberg, Bayern und Rheinland-Pfalz
Digitaler Anhang
Was zeigen die Grafiken?
Zeitreihensegmentierung, globale und abschnittsweise Regression
Die Grafik zur Zeitreihensegmentierung zeigt die den statistischen Auswertungen zugrundeliegende Zeitreihe der jeweiligen Messstelle (schwarz). Die senkrechten, gestrichelten Linien markieren die möglichen Bruchpunkte in der Zeitreihe.
Die abschnittsweise Regression (Subset-Regression) wird für die einzelnen Abschnitte separat ausgeführt, so dass sich an Bruchpunkten in der Regel Sprünge zeigen (rote Linie). Die segmentierte Regression ändert abschnittsweise ebenfalls ihre Steigung, hier wird aber Stetigkeit erzwungen (grüne Linie). Unterscheiden sich die Steigungen der beiden Regressionen beim Übergang von einem zum anderen Abschnitt im Vorzeichen, liegt ein Bruchpunkt in der Zeitreihe vor (in der nebenstehenden Beispielgrafik um 2001).
Die Grafik zur Trenduntersuchung des mittleren Verhaltens greift im linken Teil das Ergebnis der segementierten Regression nochmals auf: die Farben geben die mittlere jährliche Änderung des Werts innerhalb des jeweiligen Abschnitts wieder.
Der rechte Teil der Grafik fasst die Testergebnisse des globalen Trends der Zeitreihe zusammen: ergibt der t-Test Signifikanz des Trends, ist das Quadrat (beschriftet mit beta) ausgefüllt, bei fehlender Signifikanz ist das Quadrat nicht komplett gefüllt. Die Farbe entspricht wieder der mittleren jährlichen Änderung des Werts, der numerische Wert des Trends ist rechts daneben (beta) angegeben. Der mit LC-beschriftete Wert gibt (bei vorliegender Signifikanz des Trends) den Korrelationskoeffizienten zwischen globalem Trend und segmentiertem Trend an (Werte zwischen 0 und 1). Das Symbol am rechten Rand (beschriftet mit MK) zeigt das Ergebnis des globalen Mann-Kendall-Trendtests an: ein schwarzer Kreis steht für "kein signifikanter Trend", ein blaues Plus symbolisiert "signifikant ansteigenden Trend" und ein rotes Minus "signifikant fallenden Trend".
Extremwertsegmentierung, globale und abschnittsweise Regression
Die Grafiken zur Höchst- und Niedrigstwertsegmentierung zeigen in schwarz die Zeitreihe der jährlichen Extremwerte, das Ergebnis der globalen Regression in grün sowie das Ergebnis der lokalen Regression in blau. Die rote Linie zeigt den Verlauf des aus der jeweiligen stationären oder instationären Extremwertverteilung abgeleiteten 10-jährlichen Quantils. Im Fall einer instationären Verteilung kann diese Linie Knicke aufweisen.
Weiterhin sind in der rechten oberen Ecke der Grafik die Ergebnisse von t-Test und Mann-Kendall-Trendtest sowie die Korrelation zwischen globaler und lokaler Regression angegeben.
Die Grafiken zur Trenduntersuchung der Niedrigst- und Höchstwertzeitreihen haben den gleichen zweiteiligen Aufbau wie die weiter oben beschriebene Grafik für die globalen Trendtestergebnisse.
Partielle Defizite und Defizitdauern
Ein partielles Defizit beginnt mit der Unterschreitung eines lokalen Mittelwerts und endet mit der ersten Überschreitung dieses Schwellenwerts. Als lokaler Mittelwert wurde in dieser Untersuchung die lokale Regression der saisonbereinigten Zeitreihe verwendet.
An die so erhaltene partielle Serie mit den Merkmalen Defizit (Unterschreitung in m) und logarithmierter Defizitdauer (Zeit) werden bivariate Extremwertverteilungen (stationär und instationär) angepasst und die am besten geeignete Modellform ausgewählt.
Die Spalten DEF Trend und DAU Trend liefern das Ergebnis der Signifikanzprüfung für die getesteten Modelle: ein schwarzes Quadrat symbolisiert dabei "kein signifikanter Trend", ein blauer Pfeil nach unten steht für "signifikant fallenden Trend" und ein roter Pfeil nach oben für "signifikant ansteigender Trend". Ist für beide Größen der Trend nicht signifikant, wird das stationäre Modell verwendet, ansonsten ein Modell mit Instationarität in einer oder beiden Größen.
Ist die Anpassung der Extremwertverteilung für beide Größen ausreichend gut (in der Grafik symbolisiert durch ein grünes Quadrat für DEF Fit und DAU Fit), wird das extremste Ereignis der partiellen Serie ausgewählt (in der Grafik als Wert für DEFmax und DAUmax enthalten) und die zugehörige Jährlichkeit (Tmax) aus der Extremwertverteilung ermittelt.
Der Wert dT steht für die prozentuale jährliche Änderungsrate der Jährlichkeit Tmax, und ist nur bei Einsatz einer instationären Extremwertverteilung ungleich 0.
SARIMAX-Modelle
SARIMAX-Modelle sind Prognosemodelle auf Basis der Zeitreihenanalyse, die die statistischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Zeitreihe sowie ihren Trendverlauf nachbilden können. Im Rahmen der vorliegenden Untersuchung wurden solche Modelle für zwölf der 127 untersuchten Zeitreihen exemplarisch aufgestellt. Dabei wird der lokale Trend der Zeitreihe durch die lokalen Trends der exogenen Zeitreihen modelliert, der Jahresgang wird mit Hilfe eines Sinus- und eines Kosinusterms wiedergegeben.
Die stochastischen Eigenschaften der Zeitreihen werden mit Hilfe des ARMA-Modells nachgebildet, wobei für alle Zeitreihen nur der autoregressive Anteil (AR) benötigt wird.
Die Grafiken zeigen die gemessene Zeitreihe (schwarz) und deren lokalen Trend (rot), sowie jeweils eine mit Hilfe des SARIMAX-Modells erzeugte Realisation, also synthetische Daten, der Zeitreihe (grau). Es ist gut zu sehen, dass die SARIMAX-Modelle zwar nicht den realen Verlauf der Zeitreihe nachbilden, aber die typischen Eigenschaften der Zeitreihe gut nachvollziehen können. Dargestellt sind jeweils drei statistisch gleichwertige Realisationen je Messreihe.